73. 不确定性陷阱 #

73.1. 概述 #

在本讲座中，我们将学习Fajgelbaum、Schaal和Taschereau-Dumouchel [Fajgelbaum et al., 2015]提出的不确定性陷阱模型的简化版本。

该模型展示了自我强化的不确定性如何对经济活动产生重大影响。

在模型中，

基本面随机变化且不能被完全观察。
在任何时刻都有活跃和不活跃的企业家；只有活跃的企业家进行生产。
个体（包括活跃和非活跃的企业家）对基本面持有以概率分布表示的信念。
更大的不确定性意味着这些分布的离散程度更高。
企业家具有风险规避特性，因此在不确定性高时较少倾向于保持活跃。
活跃企业家的产出是可观察的，提供了一个带噪声的信号，帮助模型内的所有人推断基本面。
企业家通过贝叶斯法则更新他们对基本面的信念，这通过卡尔曼滤波来实现。

不确定性陷阱之所以出现，是因为：

高度不确定性使企业家不愿保持活跃。
低参与度（即活跃企业家数量较少）减少了关于基本面的信息流。
信息减少转化为更高的不确定性，进一步阻碍企业家选择保持活跃，如此循环。

不确定性陷阱源于一种正外部性：高水平的总体经济活动会产生有价值的信息。

让我们从一些标准导入开始：

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']

plt.rcParams["figure.figsize"] = (11, 5)  #设置默认图形大小
import numpy as np

73.2. 模型 #

[Fajgelbaum et al., 2015]中描述的原始模型有许多有趣的组成部分。

我们将研究一个简化版本，但它仍然包含了许多关键思想。

73.2.1. 基本原理#

基本过程\(\{\theta_t\}\)的演变由以下公式给出：

\[ \theta_{t+1} = \rho \theta_t + \sigma_{\theta} w_{t+1} \]

其中

\(\sigma_\theta > 0\) 且 \(0 < \rho < 1\)
\(\{w_t\}\)是独立同分布的标准正态分布

随机变量\(\theta_t\)在任何时间点都是不可观察的。

73.2.2. 产出#

总共有\(\bar M\)个风险规避的企业家。

第\(m\)个企业家在\(t\)时刻处于活跃状态时的条件产出等于

(73.1)#\[x_m = \theta + \epsilon_m \quad \text{where} \quad \epsilon_m \sim N \left(0, \gamma_x^{-1} \right)\]

这里为了简化符号省略了时间下标。

冲击方差的倒数\(\gamma_x\)被称为冲击的精确度。

精度越高，\(x_m\) 对基本面的信息含量就越大。

输出冲击在时间和企业之间是相互独立的。

73.2.3. 信息和信念#

所有企业家最初对 \(\theta_0\) 都持有相同的信念。

信号是公开可观察的，因此所有主体始终持有相同的信念。

省略时间下标后，对当前 \(\theta\) 的信念用正态分布 \(N(\mu, \gamma^{-1})\) 表示。

这里 \(\gamma\) 是信念的精度；其倒数是不确定性的程度。

这些参数通过卡尔曼滤波进行更新。

令

\(\mathbb M \subset \{1, \ldots, \bar M\}\) 表示当前活跃企业的集合。
\(M := |\mathbb M|\) 表示当前活跃企业的数量。
\(X\) 是活跃企业的平均产出 \(\frac{1}{M} \sum_{m \in \mathbb M} x_m\)。

使用这些符号，并用撇号表示下一期的值，我们可以将均值和精度的更新写作

(73.2)#\[\mu' = \rho \frac{\gamma \mu + M \gamma_x X}{\gamma + M \gamma_x}\]

(73.3)#\[\gamma' = \left( \frac{\rho^2}{\gamma + M \gamma_x} + \sigma_\theta^2 \right)^{-1}\]

这些是标准卡尔曼滤波结果应用于当前设置。

练习1提供了关于(73.2)和(73.3)如何推导的更多细节，然后要求你填写剩余的步骤。

下图以45度图的形式绘制了(73.3)中精度的运动规律，每条曲线对应一个\(M \in \{0, \ldots, 6\}\)。

其他参数值为\(\rho = 0.99, \gamma_x = 0.5, \sigma_\theta =0.5\)

曲线与45度线相交的点是不同\(M\)值对应的精度的长期稳态。

因此，如果这些\(M\)值中的一个保持固定，相应的稳态就是精度的均衡水平。

较高的 \(M\) 值对应着对基本面有更多的信息，因此在稳态下有更高的精确度
较低的 \(M\) 值对应着较少的信息，在稳态下有更多的不确定性

实际上，正如我们将看到的，活跃企业的数量会随机波动。

73.2.4. 参与#

再次省略时间下标，如果满足以下条件，企业家会在当前期进入市场：

(73.4)#\[\mathbb E [ u(x_m - F_m) ] > c\]

这里

\(x_m\) 的数学期望基于 (73.1) 和对 \(\theta\) 的信念 \(N(\mu, \gamma^{-1})\)
\(F_m\) 是一个随机但可预见的固定成本，在时间和企业间相互独立
\(c\) 是反映机会成本的常数

\(F_m\) 是可预见的这一说法意味着它在期初就已实现，并在 (73.4) 中被视为常数。

效用函数具有常数绝对风险厌恶形式：

(73.5)#\[u(x) = \frac{1}{a} \left(1 - \exp(-a x) \right)\]

其中 \(a\) 是一个正参数。

将(73.4)和(73.5)结合，当满足以下条件时，企业家 \(m\) 参与市场(或称为活跃):

\[ \frac{1}{a} \left\{ 1 - \mathbb E [ \exp \left( -a (\theta + \epsilon_m - F_m) \right) ] \right\} > c \]

使用对数正态随机变量期望的标准公式，这等价于以下条件

(73.6)#\[\psi(\mu, \gamma, F_m) := \frac{1}{a} \left( 1 - \exp \left( -a \mu + a F_m + \frac{a^2 \left( \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\gamma_x} \right)}{2} \right) \right) - c > 0\]

73.3. 实现 #

我们要模拟这个经济。

作为第一步，让我们创建一个类来整合

参数、\(\theta\) 的当前值以及两个信念参数 \(\mu\) 和 \(\gamma\) 的当前值
更新 \(\theta\)、\(\mu\) 和 \(\gamma\) 的方法，以及确定活跃企业数量及其产出的方法

更新方法遵循上述 \(\theta\)、\(\mu\) 和 \(\gamma\) 的运动规律。

评估活跃企业数量的方法会生成 \(F_1, \ldots, F_{\bar M}\) 并对每个企业测试条件 (73.6)。

init 方法将我们在下面模拟中使用的参数编码为默认值

class UncertaintyTrapEcon:

    def __init__(self,
                a=1.5,          # 风险厌恶
                γ_x=0.5,        # 生产冲击精度
                ρ=0.99,         # θ的相关系数
                σ_θ=0.5,        # θ冲击的标准差
                num_firms=100,  # 企业数量
                σ_F=1.5,        # 固定成本的标准差
                c=-420,         # 外部机会成本
                μ_init=0,       # μ的初始值
                γ_init=4,       # γ的初始值
                θ_init=0):      # θ的初始值

        # == 记录值 == #
        self.a, self.γ_x, self.ρ, self.σ_θ = a, γ_x, ρ, σ_θ
        self.num_firms, self.σ_F, self.c, = num_firms, σ_F, c
        self.σ_x = np.sqrt(1/γ_x)

        # == 初始化状态 == #
        self.γ, self.μ, self.θ = γ_init, μ_init, θ_init

    def ψ(self, F):
        temp1 = -self.a * (self.μ - F)
        temp2 = self.a**2 * (1/self.γ + 1/self.γ_x) / 2
        return (1 / self.a) * (1 - np.exp(temp1 + temp2)) - self.c

    def update_beliefs(self, X, M):
        """
        基于总量X和M更新信念(μ, γ)。
        """
        # 简化名称
        γ_x, ρ, σ_θ = self.γ_x, self.ρ, self.σ_θ
        # 更新μ
        temp1 = ρ * (self.γ * self.μ + M * γ_x * X)
        temp2 = self.γ + M * γ_x
        self.μ = temp1 / temp2
        # 更新γ
        self.γ = 1 / (ρ**2 / (self.γ + M * γ_x) + σ_θ**2)

    def update_θ(self, w):
        """
        根据冲击w更新基本状态θ。
        """
        self.θ = self.ρ * self.θ + self.σ_θ * w

    def gen_aggregates(self):
        """
        基于当前信念(μ, γ)生成总量。这是一个
        依赖于F抽样的模拟步骤。
        """
        F_vals = self.σ_F * np.random.randn(self.num_firms)
        M = np.sum(self.ψ(F_vals) > 0)  # 计算活跃企业数量
        if M > 0:
            x_vals = self.θ + self.σ_x * np.random.randn(M)
            X = x_vals.mean()
        else:
            X = 0
        return X, M

在下面的结果中，我们使用这段代码来模拟主要变量的时间序列。

73.4. 结果 #

让我们首先看看\(\mu\)的动态变化，这是代理用来追踪\(\theta\)的

我们可以看到，当市场中有足够多的企业时，\(\mu\)能很好地追踪\(\theta\)。

然而，有时由于信息不足，\(\mu\)对\(\theta\)的追踪效果很差。

这些就是不确定性陷阱发生的时期。

在这些时期

精确度低，不确定性高
市场中的企业数量很少

为了更清楚地了解这种动态变化，让我们一次性查看所有主要时间序列在给定冲击下的表现

注意观察这些陷阱是如何在基本面经历一系列不利冲击后才形成的。

因此，该模型为我们提供了一个传播机制，将不良的随机抽样映射为经济活动的长期下滑。

73.5. 练习 #

练习 73.1

根据以下标准结果（参见[Young and Smith, 2005]第24页），填写(73.2)和(73.3)背后的详细内容。

事实设\(\mathbf x = (x_1, \ldots, x_M)\)是来自共同分布\(N(\theta, 1/\gamma_x)\)的独立同分布抽样向量，\(\bar x\)为样本均值。如果已知\(\gamma_x\)，且\(\theta\)的先验分布为\(N(\mu, 1/\gamma)\)，则给定\(\mathbf x\)时\(\theta\)的后验分布为

\[ \pi(\theta \,|\, \mathbf x) = N(\mu_0, 1/\gamma_0) \]

其中

\[ \mu_0 = \frac{\mu \gamma + M \bar x \gamma_x}{\gamma + M \gamma_x} \quad \text{和} \quad \gamma_0 = \gamma + M \gamma_x \]

解答练习 73.1

本练习要求你根据所述内容验证讲座中给出的\(\gamma\)和\(\mu\)的运动规律

关于标量高斯设置中贝叶斯更新的结果。所述结果告诉我们，在观察了 \(M\) 个公司的平均输出 \(X\) 后，我们的后验信念将是

\[ N(\mu_0, 1/\gamma_0) \]

其中

\[ \mu_0 = \frac{\mu \gamma + M X \gamma_x}{\gamma + M \gamma_x} \quad \text{和} \quad \gamma_0 = \gamma + M \gamma_x \]

如果我们取一个具有这种分布的随机变量 \(\theta\)，然后评估 \(\rho \theta + \sigma_\theta w\) 的分布，其中 \(w\) 是独立的标准正态分布，我们就能得到讲座中给出的 \(\mu'\) 和 \(\gamma'\) 的表达式。

练习 73.2

除去随机性，复现上面显示的模拟图。

使用 UncertaintyTrapEcon 类的 init 方法中列出的默认参数值。

解答练习 73.2

首先，让我们复现说明精度运动规律的图，即

\[ \begin{align}\begin{aligned} \gamma_{t+1} = \left(\\\frac{\rho^2}{\gamma_t + M \gamma_x} + \sigma_\theta^2 \right)^{-1} \end{aligned}\end{align} \]

这里的 \(M\) 是活跃企业的数量。下图在45度图上绘制了不同 \(M\) 值下 \(\gamma_{t+1}\) 对 \(\gamma_t\) 的关系

econ = UncertaintyTrapEcon()
ρ, σ_θ, γ_x = econ.ρ, econ.σ_θ, econ.γ_x    # 简化名称
γ = np.linspace(1e-10, 3, 200)              # γ 网格
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 9))
ax.plot(γ, γ, 'k-')                         # 45度线

for M in range(7):
    γ_next = 1 / (ρ**2 / (γ + M * γ_x) + σ_θ**2)
    label_string = f"$M = {M}$"
    ax.plot(γ, γ_next, lw=2, label=label_string)
ax.legend(loc='lower right', fontsize=14)
ax.set_xlabel(r'$\gamma$', fontsize=16)
ax.set_ylabel(r"$\gamma'$", fontsize=16)
ax.grid()
plt.show()

_images/2b6f425284821737f7c2438015c84f376b5d9b9756a4638a9b0e5c3a69526278.png

曲线与45度线相交的点是对应每个\(M\)的长期稳态，这是在\(M\)值保持固定的情况下。随着企业数量的减少，精确度的长期稳态也随之下降。

接下来让我们生成信念和总量的时间序列数据——即活跃企业数量和平均产出

sim_length=2000

μ_vec = np.empty(sim_length)
θ_vec = np.empty(sim_length)
γ_vec = np.empty(sim_length)
X_vec = np.empty(sim_length)
M_vec = np.empty(sim_length)

μ_vec[0] = econ.μ
γ_vec[0] = econ.γ
θ_vec[0] = 0

w_shocks = np.random.randn(sim_length)

for t in range(sim_length-1):
    X, M = econ.gen_aggregates()
    X_vec[t] = X
    M_vec[t] = M

    econ.update_beliefs(X, M)
    econ.update_θ(w_shocks[t])

    μ_vec[t+1] = econ.μ
    γ_vec[t+1] = econ.γ
    θ_vec[t+1] = econ.θ

# 记录总量的最终值
X, M = econ.gen_aggregates()
X_vec[-1] = X
M_vec[-1] = M

首先，让我们看看在这些模拟中 \(\mu\) 是如何跟踪 \(\theta\) 的

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))
ax.plot(range(sim_length), θ_vec, alpha=0.6, lw=2, label=r"$\theta$")
ax.plot(range(sim_length), μ_vec, alpha=0.6, lw=2, label=r"$\mu$")
ax.legend(fontsize=16)
ax.grid()
plt.show()

_images/54c9e9edcbb0af2e5087f2a1aa2b554b63a3be827fc7ee4df9368c656076bbd0.png

现在让我们把所有内容一起绘制出来

fig, axes = plt.subplots(4, 1, figsize=(12, 20))
# 添加一些间距
fig.subplots_adjust(hspace=0.3)

series = (θ_vec, μ_vec, γ_vec, M_vec)
names = r'$\theta$', r'$\mu$', r'$\gamma$', r'$M$'

for ax, vals, name in zip(axes, series, names):
    # 确定合适的y轴范围
    s_max, s_min = max(vals), min(vals)
    s_range = s_max - s_min
    y_max = s_max + s_range * 0.1
    y_min = s_min - s_range * 0.1
    ax.set_ylim(y_min, y_max)
    # 绘制序列
    ax.plot(range(sim_length), vals, alpha=0.6, lw=2)
    ax.set_title(f"{name}的时间序列", fontsize=16)
    ax.grid()

plt.show()

_images/34499b45db2337862663c1e4ce884742d62d6b302d6983551738bac045942817.png

如果你运行上面的代码，当然会得到不同的图表。

尝试使用不同的参数来观察它们对时间序列的影响。

（尝试对冲击使用非高斯分布也会很有趣，但这是一个较大的练习，因为这会超出标准卡尔曼滤波器的范畴）

73. 不确定性陷阱#

73.1. 概述#

73.2. 模型#

73.2.1. 基本原理#

73.2.2. 产出#

73.2.3. 信息和信念#

73.2.4. 参与#

73.3. 实现#

73.4. 结果#

73.5. 练习#

73. 不确定性陷阱 #

73.1. 概述 #

73.2. 模型 #

73.3. 实现 #

73.4. 结果 #

73.5. 练习 #