54. 代际交叠模型中的转型#
除了 Anaconda 中的内容外，本讲座还需要以下库：
!pip install --upgrade quantecon
54.1. 引言#
本讲座介绍了由 Peter Diamond [Diamond, 1965] 提出的由”两期寿命人群的代际交叠”组成的生命周期模型。
我们将介绍Auerbach 和 Kotlikoff (1987) [Auerbach and Kotlikoff, 1987]第二章中分析的版本。
Auerbach 和 Kotlikoff (1987)使用他们的两期模型作为预备，用来分析他们书中主要讨论的“长期寿命人群的代际交叠模型”。
他们的“两期寿命的代际交叠模型”是一个有用的起点,因为
它阐述了在给定日期存活的不同世代个体之间的互动结构
它揭示了政府及相继世代所面临的各种力量与权衡取舍。
它为研究政府税收与补贴政策之间的相互关系，以及政府债务发行与偿还政策，提供了一个良好的实验框架。
一些涉及从一个稳态到另一个稳态转变的有趣实验可以手工计算
它为展示射击法提供了一个合适的框架，该方法用于求解同时具有初始条件与终端条件的非线性差分方程组。
备注
Auerbach 和 Kotlikoff 使用计算机代码来计算他们的长寿人群模型的转换路径。
我们在 Auerbach 和 Kotlikoff 第二章模型的基础上作出扩展，用以研究跨世代资源再分配的一些制度安排。
这些制度安排表现为一系列与年龄相关的定额税收与转移支付。
我们考察这些制度安排如何影响资本积累与政府债务。
54.2. 设定#
时间是离散的，用 \(t=0, 1, 2, \ldots\) 表示。
经济体永远存在，但其中的人不会。
在每个时间点 \(t \geq 0\)，都有一个代表性老年人和一个代表性年轻人存活。 在时点 \(t\)，一个代表性老年人与一个代表性年轻人共存,这个年轻人将在时点 \(t+1\) 成为老年人。
我们假设人口规模随时间保持不变。
年轻人从事工作，进行储蓄和消费。
老年人进行消费和储蓄，但不再劳动。
政府永远存在,即在各期 \(t=0, 1, 2, \ldots\) 都存在。
每个时期 \(t \geq 0\)，政府进行征税、支出、转移支付和借贷。
在 \(t=0\) 时刻，模型之外给定的初始条件为
\(K_0\)：由一个代表性的初始老年人在时点 \(t=0\) 时带入的初始资本存量
\(D_0\)：由一个代表性的老年人在时点 \(t=0\) 持有并在 \(t=0\) 到期的政府债务
\(K_0\) 和 \(D_0\) 都以时点 \(0\) 的商品单位计量。
政府政策由五个序列 \(\{G_t, D_t, \tau_t, \delta_{ot}, \delta_{yt}\}_{t=0}^\infty\) 组成，其要素包括
\(\tau_t\)：在时点 \(t\) 对工资、资本收益和政府债券征收的统一税率
\(D_t\)：在时点 \(t\) 到期的一期政府债券的本金,按人均计算
\(G_t\)：政府在时点 \(t\) 的商品购买,按人均计算
\(\delta_{yt}\)：在时点 \(t\) 对每个年轻人征收的一次性税
\(\delta_{ot}\)：在时点 \(t\) 对每个老年人征收的一次性税
配置是一组序列 \(\{C_{yt}, C_{ot}, K_{t+1}, L_t, Y_t, G_t\}_{t=0}^\infty \)，其组成部分包括
\(K_t\)：人均实物资本
\(L_t\)：人均劳动
\(Y_t\)：人均产出
以及
\(C_{yt}\)：在时点 \(t \geq 0\) 的代表性年轻人的消费
\(C_{ot}\)：在时点 \(t \geq 0\) 的代表性老年人的消费
\(K_{t+1} - K_t \equiv I_t \) – 在时点 \(t \geq 0\) 的实物资本投资
\(G_t\)：政府购买
国民收入与产品核算由以下一组等式构成
\(Y_t = C_{yt} + C_{ot} + (K_{t+1} - K_t) + G_t, \quad t \geq 0\)
价格体系是一对序列 \(\{W_t, r_t\}_{t=0}^\infty\)，其组成部分为生产要素的租赁价格
\(W_t\)：在时点 \(t \geq 0\) 的劳动要素租金
\(r_t\)：在时点 \(t \geq 0\) 的资本要素租金
54.3. 生产#
生产包含两种要素：实物资本 \(K_t\) 和劳动投入 \(L_t\)。
资本不会折旧。
初始资本存量 \(K_0\) 由一个代表性的初始老年人持有，并在时点 \(0\) 出租给企业。
时点 \(t\) 的净投资率 \(I_t\) 为
时点 \(t\) 的资本存量由过去投资的累计形成：
生产函数采用 Cobb–Douglas 形式，将实物资本 \(K_t\) 和劳动投入 \(L_t\) 转化为产出 \(Y_t\)
54.4. 政府#
在时点 \(t-1\)，政府发行一期无风险债务，承诺在时点 \(t\) 支付人均 \(D_t\) 单位的商品。
时点 \(t\) 的年轻人购买将于时点 \(t+1\) 到期的政府债券 \(D_{t+1}\)。
在时点 \(t\) 发行的政府债券，其税前净利率为 \(r_{t}\)，利息支付在时点 \(t+1\) 进行。
政府在时点 \(t \geq 0\) 的预算约束为
或等价地
其中，总税收净额（扣除转移支付）为 \(T_t\)，满足
54.5. 要素市场中的活动#
老年人： 在每个时点 \(t \geq 0\)，一个代表性老年人
将 \(K_t\) 和 \(D_t\) 带入当期，
将资本出租给代表性企业，获得租金 \(r_{t} K_t\)，
为其租金和利息收入缴税 \(\tau_t r_t (K_t+ D_t)\)，
向政府缴纳一次性税款 \(\delta_{ot}\)，
将 \(K_t\) 卖给年轻人。
年轻人： 在每个时点 \(t \geq 0\)，一个代表性年轻人
向代表性企业出售一单位劳动服务，获得工资 \(W_t\)，
为其劳动收入缴税 \(\tau_t W_t\),
向政府支付一次性税款 \(\delta_{yt}\)，
消费支出为 \(C_{yt}\)，
获得非负资产 \(A_{t+1}\)，其中包括实物资本 \(K_{t+1}\) 和在 \(t+1\) 到期的一期政府债券 \(D_{t+1}\) 之和。
备注
如果一次性税款为负，意味着政府向个人支付补贴。
54.6. 代表性企业的问题#
代表性企业以竞争性工资率 \(W_t\) 从年轻人那里雇佣劳动服务，并以竞争性租金率 \(r_t\) 从老年人那里雇佣资本。
资本的租金率 \(r_t\) 等于政府一期债券的利率。
租金率的单位是：
对于 \(W_t\)，每单位劳动力在时点 \(t\) 的产出
对于 \(r_t\)，每单位资本在时点 \(t\) 的产出
我们将时点 \(t\) 的产出作为计价单位，因此时点 \(t\) 的产出价格等于1。
企业在时点 \(t\) 的利润为
为了实现利润最大化，企业让边际产量与要素的租赁率相等：
产出可以被老年人或年轻人消费；可以卖给年轻人用于增加资本存量；也可以卖给政府，用于不为个体带来效用的用途（在模型中，即“被丢入海洋”）。
因此，企业将产出出售给老年人、年轻人和政府。
54.7. 个体问题#
54.7.1. 初始老年人#
在时点 \(t=0\),一个代表性的初始老年人拥有 \((1 + r_0(1 - \tau_0)) A_0\) 的初始资产。
他必须向政府支付一笔一次性税款（如果为正），或从政府获得补贴（如果为负） \(\delta_{ot}\)。
老年人的预算约束为
初始老年人的效用函数为 \(C_{o0}\),因此其最优消费计划由方程 (54.4) 给出。
54.7.2. 年轻人#
在每个时点 \(t \geq 0\)，代表性年轻人无弹性地提供一单位劳动，并获得税前劳动收入 \(W_t\)。
年轻人的税后与转移支付后的收入为 \(W_t (1 - \tau_t) - \delta_{yt}\)。
在每个时点 \(t \geq 0\)，年轻人选择消费计划 \(C_{yt}, C_{o,t+1}\) 以最大化 Cobb–Douglas 效用函数
其预算约束在 \(t\) 和 \(t+1\) 时分别为:
将(54.6) 的第二个方程解得的储蓄 \(A_{t+1}\) 代入第一个方程，可得现值预算约束
为了求解年轻人的最优问题，构建拉格朗日函数
其中 \(\lambda\) 是跨期预算约束 (54.7) 的拉格朗日乘子。
经过代数运算，由 (54.7) 和最大化 \({\mathcal L}\) 的一阶条件可得最优消费计划满足
最小化拉格朗日函数 (54.8) 关于 \(\lambda\) 的一阶条件可恢复预算约束 (54.7)，进而利用 (54.9) 得到最优储蓄计划
54.8. 均衡#
定义： 均衡是一个由资源配置、政府政策和价格体系所组成的三元组，满足以下性质：
在给定价格体系与政府政策的条件下，该资源配置能解出：
\(t \geq 0\) 时代表性企业的问题
\(t \geq 0\)时 的个体问题
在给定价格体系与资源配置的条件下，政府预算约束在所有 \(t \geq 0\) 时都得到满足。
54.9. 后续步骤#
为分析均衡结果，我们将研究 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) [Auerbach and Kotlikoff, 1987] 第2章的一个特例。
它可以手工求解，我们将在下一步展示这一点。
在我们推导出封闭形式解之后，我们将假定自己事先并不知道解，并据此计算均衡路径。
具体而言，我们首先会将均衡表述为一个不动点问题：该不动点映射将要素价格与税率序列映射至要素价格与税率序列。
然后我们将通过迭代计算并收敛到该映射的不动点，从而得到均衡。
54.10. 封闭形式解#
为了得到 Auerbach 和 Kotlikoff (1987) [Auerbach and Kotlikoff, 1987] 第2章的特例，我们将 \(\delta_{ot}\) 和 \(\delta_{yt}\) 都设为零。
作为 (54.9) 的特例，代表性年轻人的消费–储蓄计划为：
使用 (54.3) 和 \(A_t = K_t + D_t\)，我们得到资本的封闭形式传导方程：
54.10.1. 稳态#
根据 (54.11) 和政府预算约束 (54.2)，我们可以计算时不变值或稳态值 \(\hat K, \hat D, \hat T\)：
这意味着
示例：考虑以下情况：
初始政府债务为零，即\(D_t=0\)，
政府消费 \(G_t\) 等于产出 \(Y_t\) 的 \(15\%\)
由稳态公式可得
54.10.2. 实现#
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']
from numba import jit
from quantecon.optimize import brent_max
给定参数 \(\alpha = 0.3\) 和 \(\beta = 0.5\)，计算 \(\hat{K}\)：
# 参数
α = 0.3
β = 0.5
# τ 和 D 的稳态值
τ_hat = 0.15
D_hat = 0.
# 解 K 的稳态值
K_hat = ((1 - τ_hat) * (1 - α) * (1 - β)) ** (1 / (1 - α))
K_hat
0.17694509514972878
知道 \(\hat K\) 后,我们可以计算其他变量的稳态值。
首先，定义一些 Python 辅助函数。
@jit
def K_to_Y(K, α):
return K ** α
@jit
def K_to_r(K, α):
return α * K ** (α - 1)
@jit
def K_to_W(K, α):
return (1 - α) * K ** α
@jit
def K_to_C(K, D, τ, r, α, β):
# 当 δ=0 时老年人的最优消费
A = K + D
Co = A * (1 + r * (1 - τ))
# 当 δ=0 时年轻人的最优消费
W = K_to_W(K, α)
Cy = β * W * (1 - τ)
return Cy, Co
我们可以使用这些辅助函数来获得 \(\hat{K}\) 和 \(\hat{r}\) 对应的稳态值 \(\hat{Y}\)、\(\hat{r}\) 和 \(\hat{W}\)。
Y_hat, r_hat, W_hat = K_to_Y(K_hat, α), K_to_r(K_hat, α), K_to_W(K_hat, α)
Y_hat, r_hat, W_hat
(0.5947734290747186, 1.0084033613445376, 0.41634140035230305)
由于政府债务的稳态值 \(\hat{D}\) 为 \(0\)，所有税收都用于支付政府支出
G_hat = τ_hat * Y_hat
G_hat
0.0892160143612078
使用最优消费计划找到年轻人和老年人的消费稳态值
Cy_hat, Co_hat = K_to_C(K_hat, D_hat, τ_hat, r_hat, α, β)
Cy_hat, Co_hat
(0.17694509514972878, 0.32861231956378195)
使用一个名为 init_ss 的数组来存储稳态下的数量和价格
init_ss = np.array([K_hat, Y_hat, Cy_hat, Co_hat, # 数量
W_hat, r_hat, # 价格
τ_hat, D_hat, G_hat # 政策
])
54.10.3. 转型#
我们已经计算了一个稳态，在该稳态下，政府政策序列在时间上都是常数。
我们将此稳态作为 \(t=0\) 时另一个经济体的初始条件，在这个经济体中，政府政策序列随时间变化。
为便于理解计算，我们将 \(t=0\) 理解为发生巨大、未预期冲击的时点，其形式包括
随时间变化的政府政策序列扰乱了原有的稳态；
新的政府政策序列最终在时间上收敛为常数，即在某一时点 \(T >0\) 之后，每个序列在时间上保持不变；
一项新的政府政策在 \(t=0\) 时以政策序列的形式突然公布。
我们假设在 \(t=0\) 时，包括老年人在内的每个人都知道新的政府政策序列，并据此做出选择。
随着资本存量和其他总量随时间对财政政策变化的调整，经济将接近一个新的稳态。
通过在序列空间中采用不动点算法，我们可以求解从旧稳态到新稳态的转型路径。
但在我们的特例中，由于存在封闭形式解，可采用一种更简单且更快速的方法。
为此，我们定义了一个 Python 类 ClosedFormTrans，其功能是在给定财政政策冲击下，计算长度为 \(T\) 的转型路径。
我们选择足够大的 \(T\)，以确保在经过 \(T\) 期后，经济已经非常接近新的稳态。
该类包含三个关键参数：τ_pol、D_pol 和 G_pol，分别是税率、政府债务水平和政府购买的序列。
在下面的每个政策实验中，我们将把三者中的两个作为输入，从而刻画一项财政政策。
接着，我们利用政府预算约束，计算唯一剩余的内生变量。
在模拟转型路径时，有必要区分状态变量（如 \(K_t,Y_t,D_t,W_t,r_t\)）和控制变量（如 \(C_{yt},C_{ot},\tau_{t},G_t\)）。
class ClosedFormTrans:
"""
本类用于模拟一个经济体在财政政策变化下的长度为 T 的转型路径，
前提是给定其初始稳态。模拟基于在没有一次性税收情况下的封闭形式解。
"""
def __init__(self, α, β):
self.α, self.β = α, β
def simulate(self,
T, # 要模拟的转型路径长度
init_ss, # 初始稳态
τ_pol=None, # 税率序列
D_pol=None, # 政府债务水平序列
G_pol=None): # 政府购买序列
α, β = self.α, self.β
# 解包稳态变量
K_hat, Y_hat, Cy_hat, Co_hat = init_ss[:4]
W_hat, r_hat = init_ss[4:6]
τ_hat, D_hat, G_hat = init_ss[6:9]
# 初始化数组容器
# K, Y, Cy, Co
quant_seq = np.empty((T+1, 4))
# W, r
price_seq = np.empty((T+1, 2))
# τ, D, G
policy_seq = np.empty((T+2, 3))
# t=0，从稳态开始
K0, Y0 = K_hat, Y_hat
W0, r0 = W_hat, r_hat
D0 = D_hat
# 财政政策
if τ_pol is None:
D1 = D_pol[1]
G0 = G_pol[0]
τ0 = (G0 + (1 + r0) * D0 - D1) / (Y0 + r0 * D0)
elif D_pol is None:
τ0 = τ_pol[0]
G0 = G_pol[0]
D1 = (1 + r0) * D0 + G0 - τ0 * (Y0 + r0 * D0)
elif G_pol is None:
D1 = D_pol[1]
τ0 = τ_pol[0]
G0 = τ0 * (Y0 + r0 * D0) + D1 - (1 + r0) * D0
# 最优消费计划
Cy0, Co0 = K_to_C(K0, D0, τ0, r0, α, β)
# t=0 时的经济状态
quant_seq[0, :] = K0, Y0, Cy0, Co0
price_seq[0, :] = W0, r0
policy_seq[0, :] = τ0, D0, G0
policy_seq[1, 1] = D1
# 从 t=1 到 T
for t in range(1, T+1):
# K 的传导
K_old, τ_old = quant_seq[t-1, 0], policy_seq[t-1, 0]
D = policy_seq[t, 1]
K = K_old ** α * (1 - τ_old) * (1 - α) * (1 - β) - D
# 产出、资本回报率、工资
Y, r, W = K_to_Y(K, α), K_to_r(K, α), K_to_W(K, α)
# 为满足政府预算约束
if τ_pol is None:
D = D_pol[t]
D_next = D_pol[t+1]
G = G_pol[t]
τ = (G + (1 + r) * D - D_next) / (Y + r * D)
elif D_pol is None:
τ = τ_pol[t]
G = G_pol[t]
D = policy_seq[t, 1]
D_next = (1 + r) * D + G - τ * (Y + r * D)
elif G_pol is None:
D = D_pol[t]
D_next = D_pol[t+1]
τ = τ_pol[t]
G = τ * (Y + r * D) + D_next - (1 + r) * D
# 最优消费计划
Cy, Co = K_to_C(K, D, τ, r, α, β)
# 存储 t 时点的经济总量
quant_seq[t, :] = K, Y, Cy, Co
price_seq[t, :] = W, r
policy_seq[t, 0] = τ
policy_seq[t+1, 1] = D_next
policy_seq[t, 2] = G
self.quant_seq = quant_seq
self.price_seq = price_seq
self.policy_seq = policy_seq
return quant_seq, price_seq, policy_seq
def plot(self):
quant_seq = self.quant_seq
price_seq = self.price_seq
policy_seq = self.policy_seq
fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量变量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 价格变量
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 政策变量
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
我们可以为模型参数 \(\{\alpha, \beta\}\) 创建一个实例 closed，并将其用于各种财政政策实验。
closed = ClosedFormTrans(α, β)
54.10.4. 实验1：减税#
为了展示ClosedFormTrans的强大功能，我们首先考虑以下财政政策变动:
在 \(t=0\) 时，政府意外宣布一次性减税，\(\tau_0 =(1-\frac{1}{3}) \hat{\tau}\)，通过发行政府债务 \(\bar{D}\) 来融资；
从 \(t=1\) 开始，政府将维持 \(D_t=\bar{D}\)，并调整 \(\tau_{t}\) 以征税，用于支付政府消费和债务利息；
政府消费固定为 \(G_t = 0.15 \hat{Y}\)。
以下方程完全刻画了从初始稳态出发的均衡转型路径
我我们可以模拟 20 期的转型过程，之后经济将非常接近新的稳态。
第一步是准备一组刻画财政政策的政策变量序列。
我们必须事先给定政府支出序列 \(\{G_t\}_{t=0}^{T}\) 和债务水平 \(\{D_t\}_{t=0}^{T+1}\)，然后将它们输入到求解器中。
T = 20
# 减税
τ0 = τ_hat * (1 - 1/3)
# 政府购买序列
G_seq = τ_hat * Y_hat * np.ones(T+1)
# 政府债务序列
D_bar = G_hat - τ0 * Y_hat
D_seq = np.ones(T+2) * D_bar
D_seq[0] = D_hat
让我们使用 closed 的 simulate 方法来计算动态转换。
请注意，我们将 τ_pol 保留为 None，因为需要确定税率以满足政府预算约束。
quant_seq1, price_seq1, policy_seq1 = closed.simulate(T, init_ss,
D_pol=D_seq,
G_pol=G_seq)
closed.plot()
我们也可以尝试更低的减税率，例如 \(0.2\)。
# 更低的减税率
τ0 = 0.15 * (1 - 0.2)
# 相应的债务序列
D_bar = G_hat - τ0 * Y_hat
D_seq = np.ones(T+2) * D_bar
D_seq[0] = D_hat
quant_seq2, price_seq2, policy_seq2 = closed.simulate(T, init_ss,
D_pol=D_seq,
G_pol=G_seq)
fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), quant_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), price_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq1[:T+1, i], label=name+', 1/3')
ax.plot(range(T+1), policy_seq2[:T+1, i], label=name+', 0.2')
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
具有较低减税率（在 \(t=0\) 时实施）的经济体，其转型路径模式相同，但扭曲程度较小，并且会收敛到一个拥有更高实物资本存量的新稳态。
54.10.5. 实验2：政府资产积累#
假设经济最初处于相同的稳态。
现在政府承诺将其在公共服务与商品上的支出削减一半，并从 \(t \geq 0\) 开始执行。
政府设定的目标是保持相同的税率 \(\tau_t=\hat{\tau}\)，并通过时间推移逐步积累资产 \(-D_t\)。
为了进行该实验，我们将 τ_seq 和 G_seq 作为输入，并让 D_pol 沿转型路径由政府预算约束自动决定。
# 政府支出减半
G_seq = τ_hat * 0.5 * Y_hat * np.ones(T+1)
# 目标税率
τ_seq = τ_hat * np.ones(T+1)
closed.simulate(T, init_ss, τ_pol=τ_seq, G_pol=G_seq);
closed.plot()
随着政府积累资产并将其用于生产，资本的租金率下降，私人投资下降。
因此，政府资产与用于生产的实物资本之比 \(-\frac{D_t}{K_t}\) 将随着时间的推移而增加
plt.plot(range(T+1), -closed.policy_seq[:-1, 1] / closed.quant_seq[:, 0])
plt.xlabel('t')
plt.title('-D/K');
我们想知道这一政策实验如何影响个体。
从长远来看，未来的世代将在他们的一生中享受更高的消费，因为他们工作时将获得更高的劳动收入。
然而，在短期内，老年人遭受损失，因为劳动收入的增加不足以抵消资本收入的下降。
这种鲜明的长期效应与短期效应促使我们去研究转型路径。
备注
虽然在新的稳态中消费确实更高，但其代价是公共服务与商品供给的减少。
54.10.6. 实验3：暂时性支出削减#
我们接下来考察一种情形，即政府将支出削减一半并积累资产。
但在此实验中，政府只在 \(t=0\) 时削减支出。
从 \(t \geq 1\) 起，政府支出恢复到 \(\hat{G}\)，而税率 \(\tau_t\) 调整以维持资产水平 \(-D_t = -D_1\)。
# 政府购买序列
G_seq = τ_hat * Y_hat * np.ones(T+1)
G_seq[0] = 0
# 政府债务序列
D_bar = G_seq[0] - τ_hat * Y_hat
D_seq = D_bar * np.ones(T+2)
D_seq[0] = D_hat
closed.simulate(T, init_ss, D_pol=D_seq, G_pol=G_seq);
closed.plot()
经济体很快收敛到一个新的稳态，在该稳态下，物质资本存量更高、利率更低、工资更高，且年轻人与老年人的消费水平均有所提高。
尽管从 \(t \geq 1\) 起，政府支出 \(G_t\) 恢复到其较高的初始水平，但由于政府在临时削减支出期间积累了资产，从而获得了额外收入 \(-r_t D_t\)，因此可以在更低的税率下维持预算平衡。
与 实验2：政府资产积累 相似，转型期初期的老年人会因该政策冲击而受到损失。
54.11. 计算策略#
在前述计算中，我们研究了由不同财政政策引发的动态转型。
在所有这些实验中，我们都保持了一个假设：不存在一次性税收，即 \(\delta_{yt}=0, \delta_{ot}=0\)。
在本节中，我们将研究当一次性税收存在时的转型动态。
政府将使用一次性税收与转移支付在不同世代之间重新分配资源。
引入一次性税收会破坏封闭形式解，因为此时个体的最优消费与储蓄计划取决于未来价格与税率。
因此，我们通过寻找“从序列到序列的映射”的不动点来计算均衡转型路径：
该不动点确定了一个均衡。
为引入这一映射，我们回到 均衡 一节的概念。
定义: 给定参数 \(\{\alpha\), \(\beta\}\)，一个竞争性均衡由以下内容组成：
最优消费序列 \(\{C_{yt}, C_{ot}\}\)
价格序列 \(\{W_t, r_t\}\)
资本存量和产出序列 \(\{K_t, Y_t\}\)
税率、政府资产(债务)、政府购买与一次性税收/转移支付的序列 \(\{\tau_t, D_t, G_t\, \delta_{yt}, \delta_{ot}\}\)
并满足以下性质：
在给定价格体系与政府财政政策下，消费计划是最优的；
政府预算约束在所有 \(t\) 上均得到满足。
均衡转型路径可以通过“猜测–校验”若干内生序列来计算。
例如，在实验1：减税中，序列 \(\{D_t\}_{t=0}^{T}\) 和 \(\{G_t\}_{t=0}^{T}\) 是外生的。
此外，我们假设一次性税收与转移支付序列 \(\{\delta_{yt}, \delta_{ot}\}_{t=0}^{T}\) 也是外生的，且每个个体都知晓。
我们可以按照以下步骤求解其他均衡序列
猜测价格 \(\{W_t, r_t\}_{t=0}^{T}\) 和税率 \(\{\tau_t\}_{t=0}^{T}\)；
求解最优消费和储蓄计划 \(\{C_{yt}, C_{ot}\}_{t=0}^{T}\)，将未来价格和税率的猜测视为真实值；
求解资本存量的转移 \(\{K_t\}_{t=0}^{T}\)；
用均衡条件隐含的值更新价格和税率的猜测；
迭代直至收敛。
接下来我们将实现这一”猜测和验证”的方法。
我们首先定义 Cobb–Douglas 效用函数
@jit
def U(Cy, Co, β):
return (Cy ** β) * (Co ** (1-β))
我们使用 Cy_val 来计算给定跨期预算约束下任意消费计划 \(C_y\) 的终身价值。
注意：这需要知道未来的价格 \(r_{t+1}\) 和税率 \(\tau_{t+1}\)。
@jit
def Cy_val(Cy, W, r_next, τ, τ_next, δy, δo_next, β):
# Co 由预算约束给出
Co = (W * (1 - τ) - δy - Cy) * (1 + r_next * (1 - τ_next)) - δo_next
return U(Cy, Co, β)
最优消费计划 \(C_y^*\) 可以通过最大化 Cy_val 来找到。
下面是一个计算稳态下最优消费 \(C_y^*=\hat{C}_y\) 的例子，其中 \(\delta_{yt}=\delta_{ot}=0\)，就像我们之前研究的那样。
W, r_next, τ, τ_next = W_hat, r_hat, τ_hat, τ_hat
δy, δo_next = 0, 0
Cy_opt, U_opt, _ = brent_max(Cy_val, # 最大化的目标函数
1e-6, # 下界
W*(1-τ)-δy-1e-6, # 上界
args=(W, r_next, τ, τ_next, δy, δo_next, β))
Cy_opt, U_opt
(0.17694509514972878, 0.241135518231111)
接下来，我们定义一个Python类AK2，它可以使用不动点算法计算转型路径。
它可以处理非零一次性税收
class AK2():
"""
该类模拟一个经济体在给定初始稳态下，对财政政策变化的长度为T的转型路径。
转型路径通过采用不动点算法来满足均衡条件而得出。
"""
def __init__(self, α, β):
self.α, self.β = α, β
def simulate(self,
T, # 模拟的转型路径长度
init_ss, # 初始稳态
δy_seq, # 年轻人的一次性税收序列
δo_seq, # 老年人的一次性税收序列
τ_pol=None, # 税率序列
D_pol=None, # 政府债务水平序列
G_pol=None, # 政府购买序列
verbose=False,
max_iter=500,
tol=1e-5):
α, β = self.α, self.β
# 解包稳态变量
K_hat, Y_hat, Cy_hat, Co_hat = init_ss[:4]
W_hat, r_hat = init_ss[4:6]
τ_hat, D_hat, G_hat = init_ss[6:9]
# K, Y, Cy, Co
quant_seq = np.empty((T+2, 4))
# W, r
price_seq = np.empty((T+2, 2))
# τ, D, G
policy_seq = np.empty((T+2, 3))
policy_seq[:, 1] = D_pol
policy_seq[:, 2] = G_pol
# 价格的初始猜测
price_seq[:, 0] = np.ones(T+2) * W_hat
price_seq[:, 1] = np.ones(T+2) * r_hat
# 政策的初始猜测
policy_seq[:, 0] = np.ones(T+2) * τ_hat
# t=0, 从稳态开始
quant_seq[0, :2] = K_hat, Y_hat
if verbose:
# 准备绘制迭代直到收敛
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(14, 4))
# 检查收敛的容器
price_seq_old = np.empty_like(price_seq)
policy_seq_old = np.empty_like(policy_seq)
# 开始迭代
i_iter = 0
while True:
if verbose:
# 在第i次迭代时绘制当前价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
axs[i].plot(range(T+1), price_seq[:T+1, i])
axs[i].set_title(name)
axs[i].set_xlabel('t')
axs[2].plot(range(T+1), policy_seq[:T+1, 0],
label=f'第{i_iter}次迭代')
axs[2].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc='upper left')
axs[2].set_title('τ')
axs[2].set_xlabel('t')
# 存储上一次迭代的旧价格
price_seq_old[:] = price_seq
policy_seq_old[:] = policy_seq
# 开始更新数量和价格
for t in range(T+1):
K, Y = quant_seq[t, :2]
W, r = price_seq[t, :]
r_next = price_seq[t+1, 1]
τ, D, G = policy_seq[t, :]
τ_next, D_next, G_next = policy_seq[t+1, :]
δy, δo = δy_seq[t], δo_seq[t]
δy_next, δo_next = δy_seq[t+1], δo_seq[t+1]
# 老年人的消费
Co = (1 + r * (1 - τ)) * (K + D) - δo
# 年轻人的最优消费
out = brent_max(Cy_val, 1e-6, W*(1-τ)-δy-1e-6,
args=(W, r_next, τ, τ_next,
δy, δo_next, β))
Cy = out[0]
quant_seq[t, 2:] = Cy, Co
τ_num = ((1 + r) * D + G - D_next - δy - δo)
τ_denom = (Y + r * D)
policy_seq[t, 0] = τ_num / τ_denom
# 年轻人的储蓄
A_next = W * (1 - τ) - δy - Cy
# K的传导
K_next = A_next - D_next
Y_next = K_to_Y(K_next, α)
W_next, r_next = K_to_W(K_next, α), K_to_r(K_next, α)
quant_seq[t+1, :2] = K_next, Y_next
price_seq[t+1, :] = W_next, r_next
i_iter += 1
if (np.max(np.abs(price_seq_old - price_seq)) < tol) & \
(np.max(np.abs(policy_seq_old - policy_seq)) < tol):
if verbose:
print(f"使用{i_iter}次迭代收敛")
break
if i_iter > max_iter:
if verbose:
print(f"使用{i_iter}次迭代未能收敛")
break
self.quant_seq = quant_seq
self.price_seq = price_seq
self.policy_seq = policy_seq
return quant_seq, price_seq, policy_seq
def plot(self):
quant_seq = self.quant_seq
price_seq = self.price_seq
policy_seq = self.policy_seq
fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq[:T+1, i], label=name)
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
我们用模型参数 \(\{\alpha, \beta\}\) 初始化一个 AK2 类的实例,然后用它来进行财政政策实验。
ak2 = AK2(α, β)
我们首先检验，当一次性税收被排除时，‘猜测和校验’方法所得的数值结果与封闭形式解所得到的结果一致。
δy_seq = np.ones(T+2) * 0.
δo_seq = np.ones(T+2) * 0.
D_pol = np.zeros(T+2)
G_pol = np.ones(T+2) * G_hat
# 减税
τ0 = τ_hat * (1 - 1/3)
D1 = D_hat * (1 + r_hat * (1 - τ0)) + G_hat - τ0 * Y_hat - δy_seq[0] - δo_seq[0]
D_pol[0] = D_hat
D_pol[1:] = D1
quant_seq3, price_seq3, policy_seq3 = ak2.simulate(T, init_ss,
δy_seq, δo_seq,
D_pol=D_pol, G_pol=G_pol,
verbose=True)
使用10次迭代收敛
ak2.plot()
接下来,我们引入一次性税收。
让我们修改 实验1：减税 中的财政政策设定，假定政府同时对年轻人和老年人征收一次性税收 \(\delta_{yt}=\delta_{ot}=0.005, t\geq0\)。
δy_seq = np.ones(T+2) * 0.005
δo_seq = np.ones(T+2) * 0.005
D1 = D_hat * (1 + r_hat * (1 - τ0)) + G_hat - τ0 * Y_hat - δy_seq[0] - δo_seq[0]
D_pol[1:] = D1
quant_seq4, price_seq4, policy_seq4 = ak2.simulate(T, init_ss,
δy_seq, δo_seq,
D_pol=D_pol, G_pol=G_pol)
注意：”挤出效应”已经得到缓解。
fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0")
ax.plot(range(T+1), quant_seq4[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0.005")
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0")
ax.plot(range(T+1), price_seq4[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0.005")
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0")
ax.plot(range(T+1), policy_seq4[:T+1, i], label=rf"{name}, $\delta$s=0.005")
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
与 实验1：减税 相比，政府提高一次性税收以支付不断增加的债务利息支出，与提高资本所得税税率相比，这种做法的扭曲性更小。
54.11.1. 实验4：无基金的社会保障制度#
在这个实验中，老年人和年轻人的一次性税收数额相等，但符号相反。
负的一次性税收即为补贴。
因此，在这个实验中，年轻人被征税，而老年人获得补贴。
我们将经济体设定在此前若干实验中假定的相同初始稳态。
政府从 \(t=0\) 开始设定一次性税收 \(\delta_{y,t}=-\delta_{o,t}=10\% \hat{C}_{y}\)。
它将债务水平和支出保持在其稳态值 \(\hat{D}\) 和 \(\hat{G}\)。
实际上，这个实验相当于引入一个无基金的社会保障制度。
我们可以使用代码来计算启动这个制度所引发的转型路径。
最后，我们将其结果与 实验1：减税 进行比较。
δy_seq = np.ones(T+2) * Cy_hat * 0.1
δo_seq = np.ones(T+2) * -Cy_hat * 0.1
D_pol[:] = D_hat
quant_seq5, price_seq5, policy_seq5 = ak2.simulate(T, init_ss,
δy_seq, δo_seq,
D_pol=D_pol, G_pol=G_pol)
fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(14, 10))
# 数量
for i, name in enumerate(['K', 'Y', 'Cy', 'Co']):
ax = axs[i//3, i%3]
ax.plot(range(T+1), quant_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), quant_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 价格
for i, name in enumerate(['W', 'r']):
ax = axs[(i+4)//3, (i+4)%3]
ax.plot(range(T+1), price_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), price_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i+4], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
# 政策
for i, name in enumerate(['τ', 'D', 'G']):
ax = axs[(i+6)//3, (i+6)%3]
ax.plot(range(T+1), policy_seq3[:T+1, i], label=name+', 减税')
ax.plot(range(T+1), policy_seq5[:T+1, i], label=name+', 转移支付')
ax.hlines(init_ss[i+6], 0, T+1, color='r', linestyle='--')
ax.legend()
ax.set_xlabel('t')
在社会保障制度启动时，初始老年人尤其受益，因为他无需付出任何代价即可获得转移支付。
然而，从长期来看，年轻人与老年人的消费率都会下降，因为社会保障制度削弱了储蓄动机。
这会降低实物资本存量，从而导致产出下降。
为支付其支出，政府必须提高税率。
更高的资本收入税率进一步扭曲了储蓄动机。